СИНТЕЗ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ РЕГУЛЯТОРІВ БАГАТОВИМІРНИХ ЦИФРОВИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ



РЕПНІКОВА Н.Б. Предложены несколько алгоритмов синтеза векторно-матричных моделей регуляторов цифровых многомерных систем управления, которые обеспечивают заданное качество системы на основе формирования матрицы обратных связей по состоянию.

Ключевые слова: векторно-матричные модели, цифровые системи управления, многомерные системи управления

Several algorithms for synthesis of vector-matrix models of multidimensional control systems digital controllers that provide specified quality system on the basis of the formation of matrix feedbacks is proposed

Keywords:vector-matrix models, digital control systems, multidimensional control systems

Вступ

В задачах керування технічними об’єктами була і остається актуальною задача розроблення регуляторів багатовимірних систем керування. В таких системах крім основної задачі синтезу регуляторів, необхідно вирішувати попередню задачу нейтралізації зв’язків у багатозв’язному об’єкті керування.

Така нейтралізація у літературі получила назву розв’язання каналів.

В доповіді розглядаються шляхи вирішення задачі синтезу векторно-матричних моделей регуляторі багатовимірних систем керування по-перше: на основі зворотніх зв’язків за станом та включення динамічних зворотніх зв’язків; по-друге: з використанням допоміжної матриці F [1].

Постановка і вирішення задачі

Розглянемо об'єкт керування, що описується рівняннями виду

\[\mathbf{x}[n+1]=\mathbf{A}[n]\mathbf{x}[n]+\mathbf{B}u[n]\] \[\mathbf{y}[n]=\mathbf{C}x[n]\] Загальний вид матриць для багатозв'язного за станом об'єкту керування є

Необхідно виконати синтез вкторно-матричної моделі регулятора, при якому: - об'єкт управління задовольняє умові повної керованості, тобто існує невироджена матриця керованості $\mathbf{P}=\left| \begin{matrix} - \mathbf{B} & ... & {{\mathbf{A}}^{(n-1)}}\mathbf{B} \ - \end{matrix} \right|$, така що $rank(\mathbf{P})=n$.

- перехідний процес замкнутої системи відповідав би бажаним показникам якості: нульова похибка в усталеному режимі та нульове перерегулювання. 1) Для діагоналізації матриці А пропонуємо включити у цифрову систему допоміжний об’єкт з матрицею С виду

Тобто, потрібно ввести допоміжний об’єкт в систему, щоб отримати цифрову систему з діагоналізованою матрицею А.

Коефіцієнти ${{\beta }_{ij}}$ утворюють відповідну матрицю, які потрібно підрахувати для того, щоб новий сигнал $U{{[n]}^{'}}$ об’єднував функцію виключення впливу перехресних зв’язків з функцією управління:

Так як алгоритм синтезу системи передбачає зведення вихідної системи до автономної, для розрахунку матриць зворотнього зв’язку, будемо використовувати рівняння замкнутої системи для кожного стану окремо [2]:

Де шукана матриця зворотного зв’язку G буде мати розмірність (r x (n+p)), а бажані корені $\lambda $

2) З використанням допоміжної матриці F розглянемо інший підхід до розроблення векторно-матричної моделі регулятора, які дозволяють виключити вплив перехресних зв’язків за станом.

Матриця зворотних зв’язків за станом у цьому випадку розраховується за виразом

$\mathbf{K}={{\left[ \mathbf{CB}\right]}^{-}}\left[ \mathbf{CA}-\mathbf{ZC} \right]$ , де діагональні елементи ${{z}_{i}}$ матриці Z є корені характеристич-ного рівняння

\[\det \left[z\mathbf{E}-\mathbf{A}+\mathbf{BK} \right]=\det \left[ z\mathbf{E}-\mathbf{F}\right]\]

В загальному вигляді для системи n-ного порядку матриця K регулятора розраховується як

Окремо слід зазначити, як показали дослідження, у багатьох розглянутих методах

синтезу цифрових систем керування спостерігається помилка регулювання, що знижує ефективність проведеного синтезу.

Для усунення помилки регулювання існує декілька шляхів. По-перше, це визначення коригуючих коефіцієнтів, які обумовлюють нульову помилку регулювання, по-друге, це якісний розрахунок бажаних коренів характеристичного рівняння.

Як приклад пропонуємо для розглянутого алгоритму синтезу векторно-матричних моделей регуляторів використовувати наступну формулу розрахунку бажаних коренів характеристичного рівняння

${{z}_{i}}=\frac{1}{1+{{b}_{ii}}{{c}_{ii}}}$, де і=1….,n

Всі аналітичні формули підтверджені експериментальними дослідженнями, які проводились з використанням комп’ютерного моделювання за допомогою інженерного пакету MATLAB/Simulink.

Висновки

На базі існуючих алгоритмів, отримані аналітичні вирази для векторно-матричних моделі регуляторів багатовимірних цифрових систем керування, які не тільки дозволяють виключити взаємний вплив перехресних зв'язків за станом, а й забезпечити задану якість синтезованій системі.

Перелік посилань

$1.$ Изерман Р. Цифрові системи управління/ - М.: Мир,1984 -345с. - Бібліогр.520-530с.- 10500 екз.

$2.$ Куо Ю. Теорія і проектування цифрових систем управління/- М.: «Машиностроение», 1986 – 448с - Бібліогр.:446-447с.-13000 екз.

Jun 21, 2016