Восстановление вектора состояния динамических систем при его неполных измерениях c ограниченными помехами



КУНЦЕВИЧ В.М., ВОЛОСОВ В.В. Запропоновані робастні алгоритми гарантованого оцінювання вектора стану нелінійних динамічних систем, засновані на використанні методів багатогранників та еліпсоїдів.

УДК 621.391

Robust algorithms of guaranteed estimation of the state vector of nonlinear dynamical systems based on the use of themethods of ellipsoids and polyhedrals, are proposed

Для оценки вектора состояния линейных динамических систем при измерениях с ограниченными помехами в настоящее время развиты методы получения эллипсоидальных оценок (см. [1], [2]). Сложнее обстоит дело с определением оценок вектора состояния нелинейных систем. Задано уравнение семейства дискретных управляемых систем \[{{X}_{n+1}}=A{{X}_{n}}+B{{U}_{n}}, n=0,\ 1,\ 2,\ldots ,\quad \quad \quad(1)\]

где ${{X}_{n}}\in {{\mathbf{R}}^{m}}, {{X}_{n}}={{({{x}_{1,n}},{{x}_{2,n}},\ldots,{{x}_{m,n}})}^{T}}$ – вектор фазового состояния; ${{U}_{n}}\in{{\mathbf{R}}^{k}}$ – вектор управления; $A – m\times m$ -матрица, для которой задана ее оценка \[A\in \mathbf{A}={{\mathbf{A}}_{1}}\times {{\mathbf{A}}_{2}}\times \ldots \times {{\mathbf{A}}_{m}},\quad \quad \quad (2)\]

Здесь ${{\mathbf{A}}_{i}}$ –заданное выпуклое множество; $B$ – заданная $m\times k$-матрица.

Примем, что для вектора ${{X}_{n}}$ задана его эллипсоидальная оценка \[\begin{align} & {{X}_{n}}\in {{\mathbf{E}}_{n}}=E[{{{\hat{X}}}_{n}},{{H}_{n}}]= \{{{X}_{n}}\in {{\mathbf{R}}^{m}}:\theta (X,{{{\hat{X}}}_{n}},{{H}_{n}})\le 1\}, \ \end{align}\quad \quad \quad(3)\]

где $\theta (\cdot)={{(X-{{\hat{X}}_{n}})}^{T}}H_{n}^{-1}(X-{{\hat{X}}_{n}}),$ ${{\hat{X}}_{n}}$ – центр эллипсоида, матрица $H_{n}^{T}={{H}_{n}}>0.$

Задано уравнение измерения \[{{y}_{n}}={{h}^{T}}{{X}_{n}}+{{z}_{n}}, \quad \quad \quad n=0,\ 1,\ 2,\ldots,\quad \quad \quad (4) \]

где ${{y}_{n}}$ – скалярный измеряемый выход системы, $h$ –известный вектор, $\left| h \right|\ne 0,$ ${{z}_{n}}$ – ограниченная помеха измерения, априорно заданной интенсивности $\Delta $ \[{{z}_{n}}\in \mathbf{z}=\left\{ z:\left| z \right|\le \Delta \right\}.\quad \quad \quad (5)\]

Ставится задача: по оценке вектора ${{X}_{n+1}},$ полученной в результате измерений ${{y}_{n+1}}$ \[{{X}_{n+1}}\in {{\mathbf{S}}_{n+1}}=\left\{ X\in {{\mathbf{R}}^{m}}:\left| {{h}^{T}}X-{{y}_{n+1}} \right|\le \Delta \right\}(6)\]

и прогнозной оценке ${{X}_{n+1}}\in $${{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}$ \[{{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}=\bigcup \left( A{{X}_{n}}+B{{U}_{n}} \right)\] при \[{{X}_{n}}\in {{\mathbf{E}}_{n}},A\in \mathbf{A}(7)\]

определить гарантированную апостериорную оценку \[{{X}_{n+1}}\in{{\mathbf{X}}_{n+1}}={{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}\bigcap{{\mathbf{S}}_{n+1}}.\]

Точное определение множества ${{\mathbf{X}}_{n+1}}$связано с большим объемом вычислений. Поэтому, поставим задачу определения оценки ${{\mathbf{X}}_{n+1}}$ сверху в классе эллипсоидальных множеств. Для этого введем в рассмотрение интервальные множества [3] \[{{\mathbf{\bar{x}}}_{i,n+1}}=\left\{ {{x}_{i}}:{{\underline{x}}_{i,n+1}}\le {{x}_{i}}\le {{{\bar{x}}}_{i,n+1}} \right\}\,;\ \ i=\overline{1,m},\](8) \[\left. \begin{align} & {{\underline{x}}_{i,n+1}}={{\underline{\upsilon }}_{i,n+1}}+B_{i}^{T}{{U}_{n}};\ {{{\bar{x}}}_{i,n+1}}={{{\bar{\upsilon }}}_{i,n+1}}+B_{i}^{T}{{U}_{n}}; \ & i=\overline{1,m};\ \,B_{i}^{T}\,-\,i\text{- }B \ \end{align} \right\}(9)\] \[\left. \begin{align} & {{\underline{\upsilon }}_{i,n+1}}=\min \left\{ A_{i}^{T}{{X}_{n}} \right\},\quad {{{\bar{\upsilon }}}_{i,n+1}}=\max \left\{ A_{i}^{T}{{X}_{n}} \right\}, \ & {{X}_{n}}\in {{\mathbf{E}}_{n}},{{A}_{i}}\in {{\mathbf{A}}_{i}},\ i=\overline{1,m}. \ \end{align} \right\}(10)\]

При использовании вместо прогнозного множества ${{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}$ его оценки сверху ${{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}}=\left\{{{X}_{n+1}}\text{:}\, {{x}_{i,n+1}}\in {{{\mathbf{\bar{x}}}}_{i,n+1}}, i=\overline{1,m} \right\}$ операция пересечения ${{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}\bigcap{{\mathbf{S}}_{n+1}}$ заменяется операцией пересечения множеств ${{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}}\bigcap{{\mathbf{S}}_{n+1}},$ в результате выполнения которой по априорной оценке ${{X}_{n}}\in{{\mathbf{X}}_{n}}={{\mathbf{E}}_{n}}$ получаем апостериорную оценку ${{X}_{n+1}}\in{{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}}\bigcap {{\mathbf{S}}_{n+1}}.$ Громоздкость выполнения операции пересечения ${{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}}\bigcap{{\mathbf{S}}_{n+1}}$ и последующая аппроксимация полученного «неудобного»множества делает целесообразным использование эллипсоидальных аппроксимаций сверху интервального множества ${{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}}.$ При этом определен эллипсоид минимального объема ${{\mathbf{\tilde{E}}}_{n+1}}\supset{{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}},$ аппроксимирующий интервальное множество ${{\mathbf{{\bar{X}}'}}_{n+1}}[4].$

Алгоритмам построения эллипсоидов ${{\mathbf{E}}_{n+1}}\supset{{\mathbf{\tilde{E}}}_{n+1}}\bigcap {{\mathbf{S}}_{n+1}}$, оптимальных по критериям объема, следа матрицы и т.д., посвящено значительное количество работ. Для векторов состояния систем (1) при выполнении априорного предположения ${{X}_{n}}\in {{\mathbf{E}}_{n}}$ гарантированно выполняются включения ${{X}_{n+1}}\in{{\mathbf{E}}_{n+1}}=E[{{\hat{X}}_{n+1}},{{H}_{n+1}}]$. Не вдаваясь в подробности, заметим, что общая структура получаемых при этом алгоритмов оценивания имеет вид \[\begin{align} & {{{\hat{X}}}_{n+1}}=\psi \text{(}{{{\tilde{X}}}_{n+1}},{{{\tilde{H}}}_{n+1}},{{y}_{n+1}},\Delta ,p,q\text{)}\text{,} \ & {{H}_{n+1}}=\Psi \text{(}{{{\tilde{X}}}_{n+1}},{{{\tilde{H}}}_{n}},{{y}_{n+1}},\Delta ,p,q\text{)}\text{,} \ \end{align}(11)\]

где $p$ и $q$ – векторы параметров алгоритмов. Функции $\psi\text{(}\cdot \text{)}$ и $\Psi \text{(}\cdot \text{)}$ определяются конкретным алгоритмом оценивания.

Практика применения алгоритмов (11) выявила ряд их недостатков. Пересечение ${{\mathbf{\tilde{E}}}_{n+1}}\bigcap{{\mathbf{S}}_{n+1}}$ в силу вычислительных погрешностей или сбоя в измерениях, в результате которого при некоторых $n$ нарушается априорное предположение (5) может оказаться пустым множеством. Для устранения этих недостатков были предложены робастные методы эллипсоидального оценивания вектора состояния. Общая схема получения робастных методов эллипсоидального оценивания вида (11) достаточно простая и описана в ряде работ ([5], [6]).

Задано уравнение семейства управляемых нелинейных систем \[{{X}_{n+1}}=F\text{(}{{X}_{n}},L\text{)}+B{{U}_{n}},(12)\]

где $F\text{(}{{X}_{n}},L\text{)}$ –нелинейная вектор-функция ${{X}_{n}}$, линейно зависящая от вектора параметров$L$, такая, что при ${{X}_{n}}=0$ $F\text{(}0,L\text{)}=0$. Для вектора ${{X}_{n}}$задана его оценка вида (3), а уравнение измерений имеет вид (4). Требуется решить задачу: по оценкам (5), (6) и прогнозной оценке ${{X}_{n+1}}\in{{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}=\bigcup F({{X}_{n}},L)+B{{U}_{n}}$, где ${{X}_{n}}\in{{\mathbf{E}}_{n}}$, $L\in \mathbf{L}$ определить гарантированную апостериорную оценку ${{X}_{n+1}}\in{{\mathbf{X}}_{n+1}}={{\mathbf{\bar{X}}}_{n+1}}\bigcap {{\mathbf{S}}_{n+1}}$.

Также, как и выше, аппроксимируем множество ${{\overline{\mathbf{X}}}_{n+1}}$ интервальным множеством минимального объема, воспользовавшись методом, схема которого описана выше [7].

Список литературы

  1. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. – М.: Наука, 1977. – 392 С.

  2. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. – М.: Наука, 1988. –320 с.

  3. Кунцевич В.М., Куржанский А.Б. Области достижимости линейных и некоторых классов нелинейных дискретных систем и управление ими // Проблемы управления и информатики. – 2010. – № 1. – С.5-21.

  4. Волосов В.В., Кунцевич В.М. Определение эллипсоидальных оценок вектора состояния нелинейных дискретных систем при измерениях с ограниченными помехами // Труды X Международной Четаевской конференции.– Казань, 12–16 июня 2012 г. – Том 2. – С. 177–184.

  5. Волосов В.В., Тютюнник Л.И. Разработка и исследование робастных алгоритмов гарантированного эллипсоидального оценивания состояния многомерных линейных дискретных динамических систем. Часть I // Проблемы управления и информатики. – 1997.– № 4. – С. 31– 43.

  6. Волосов В.В., Тютюнник Л.И.Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния непрерывных и дискретных нестационарных динамических систем с неконтролируемыми возмущениями и помехами в каналах измерения // Кибернетика и выч. техн. – 2002. – Вып. 135. – С.3-8.

  7. Кунцевич В.М., Волосов В.В.Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем // Кибернетика и системный анализ. –2015. – Том 51. – №1. – С. 73-84.
May 7, 2016