Cинтез спостерігаючого пристрою нелінійної системи керування



В роботі запропоновано новий підхід синтезу спостерігаючого пристрою нелінійної системи з використанням методу “backstepping”. Виведено аналітичні співвідношення для розрахунку відповідних матриць. Розроблено модель нелінійної системи в середовищі Matlab/Simulink та отримані результати синтезу.

Synthesis of watchinglinear device of management system

Repnikova N.B.

Shumada K.O.

National Technical University of Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute”, Faculty of Informatics and Computer Science

Ukraine, Kyiv

The paper presents a new approach to the synthesis of watching device nonlinear system using the method of "backstepping". Analytical relations for the calculation of the matrices, the model of the nonlinear system in an environment Matlab / Simulinkand the results of synthesis were developed.

Key words: nonlinear control systems, Lyapunov function, watching device, feedback vector.

На сьогоднішній день в теорії автоматичного керування базовою є задача управління об’єктами різноманітної природи. Реальна фізична система майже завжди описується нелінійними диференціальними рівняннями. Для розв’язання задачі керування такою системою зазвичай або нехтують нелінійностями, або використовують метод лінеаризації системи. Однак це може привести до погіршення показників якості системи та виникненню похибок. Таким чином, питання розроблення нових та вдосконалення існуючих методів синтезу нелінійних систем є актуальним.

Розглянемо об’єкт керування, що описується нелінійними диференціальними рівняннями:

де ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ – змінні стану, ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$ – постійні додатні коефіцієнти, $u$ – управління.

Для знаходження закону керування, що буде забезпечувати асимптотичну стійкість системи, застосуємо метод «backstepping». Перевагою методу є можливість застосування його до нелінійних систем керування без нехтування нелінійностей.

Основою методу «backstepping» є використання функцій Ляпунова для пошуку закону керування. [1]

Розглянемо перше рівняння системи і приймемо ${{x}_{2}}$ в якості керуючої змінної ${{v}_{1}}$:

\[{{\dot{x}}_{1}}={{k}_{1}}x_{1}^{2}{{v}_{1}}\]

Вибравши позитивно визначену функцію $V({{x}_{1}})=\frac{x_{1}^{2}}{2},$ вважаючи, що вона є можливою функцією Ляпунова. Її похідна за часом:

\[\dot{V}({{x}_{1}})={{k}_{1}}x_{1}^{3}{{v}_{1}},\]

Для знаковизначеності виразу функція ${{v}_{1}}$ має мати вигляд :

\[{{v}_{1}}=-{{l}_{1}}{{x}_{1}},\]

Де ${{l}_{1}}$ – постійний додатній коефіцієнт.

Визначимо помилку між реальним значенням ${{x}_{2}}$ та бажаним значенням ${{v}_{1}}$, як:

\[{{z}_{2}}={{x}_{2}}-{{v}_{1}}={{x}_{2}}+{{l}_{1}}{{x}_{1}}\]

Отримуємо нову систему відносно змінних ${{x}_{1}}$ та ${{z}_{2}}$. Розв’язавши її аналогічним чином, отримаємо кінцевий вираз для закону керування:

\[u=\frac{1}{{{k}_{2}}}\left( -{{l}_{1}}{{l}_{2}}{{x}_{1}}-{{l}_{2}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{l}_{1}} \right)\]

Для можливості управління зазначеним об’єктом за допомогою зворотних зв’язків за станом, потрібно мати повну інформацію про змінні стану об’єкту керування. Як відомо, таку задачу вирішує спостерігаючий пристрій. На теперішній час існує декілька методів синтезу спостерігаючого пристрою.

Пропонуємо для оцінки змінних стану об’єкту керування використовувати еталонну модель, структура і параметри якої співпадають з структурою та параметрами досліджуваної нелінійної системи.

Ідея нового підходу синтезу нелінійного спостерігаючого пристрою полягає в тому, що визначається помилка виходу нелінійної системи та моделі в функції заданих початкових станів.

Для забезпечення відновлення станів такої моделі необхідно ввести деяку матрицю H, що являла б собою матрицю коефіцієнтів зворотного зв’язку спостерігаючого пристрою з елементами ${{h}_{1}}\left( t \right)$ та ${{h}_{2}}\left( t\right)$.

Для отримання аналітичної залежності коефіцієнтів матриці H від параметрів вихідної системи розглянемо початковий момент часу роботи системи. Визначимо похибку значення початкового стану змінних ${{x}_{i}}$:

\[{{\delta }_{i}}={{x}_{i}}-x_{i}^{'},\]

Де $x_{i}^{'}$ - початковий стан спостерігаючого пристрою.

Обчислимо значення керування ${u}'$ за вище отриманою формулою за станами ${{{x}'}_{1}}$ та ${{{x}'}_{2}}$ та підставимо отриманий результат у вихідні рівняння станів системи. Доповнимо рівняння системи до еталонної моделі спостерігаючого пристрою та отримаємо:

З наведеної системи рівнянь знаходимо аналітичний вираз для обчислення значень матриці H.

Для порівняння запропонованого підходу з існуючим було розроблено модель спостерігаючого пристрою з використання матриць Якобі та попередньою лінеаризацією об’єкта керування. На Рис. 1 та 2 показані результати моделювання роботи спостерігаючого пристрою та відновлення змінних станів з використанням лінеаризації об’єкта керування.[2]

Рис.1 Зміна стану ${{x}_{1}}\left( t \right)$

1 – об’єкт керування; 2– спостерігаючий пристрій

Рис.2 Зміна стану ${{x}_{2}}\left( t \right)$

1 – об’єкт керування; 2– спостерігаючий пристрій

Результати моделювання розробленого нелінійного спостерігаючого пристрою представлені на Рис. 3 і 4:

Рис.3 Зміна стану ${{x}_{1}}\left( t \right)$

1 – об’єкт керування; 2– спостерігаючий пристрій

Рис.4 Зміна стану ${{x}_{2}}\left( t \right)$

Як видно з графіків (Рис.1, 2), розроблений спостерігаючий пристрій відновлює стани з значною похибкою. Варто також відзначити, що даний метод синтезу є досить громіздким і для реальних системйого реалізувати дуже складно.

Графіки перехідних процесів на Рис. 3, 4 показують,що розроблений спостерігаючий пристрій відновлює змінні станів з достатньовисокою точністю.

Висновки

Таким чином, розроблено новий підхід до синтезу нелінійного спостерігаючого пристрою на базі методу “backstepping” з використанням функцій Ляпунова. Даний підхід дозволяє отримувати аналітичні вирази для визначення матриці H, яка зводить похибку відновлення змінних станів нелінійної системи до 0.

Список літератури

1 Zhou J. Adaptive Backstepping Control of Uncertain System / Jing Zhou, Changyun Wen. – Berlin: Springer, 2008. – 243 p.

2 Синицин И. Н. Методы статистической линеаризации (обзор) // АиТ, 1974. №5. С. 82–94.

May 25, 2016