Выбор меры различия образцового и отфильтрованного периодических сигналов при высоких уровнях флуктуационного шума



Стаття | Article    

Download

В статье рассмотрен выбор меры различия результатов фильтрации искажённых периодических сигналов в задаче поиска оптимальных значений параметра цифрового фильтра нижних частот «простое скользящее среднее». Для сравнения были выбраны меры различия –среднеквадратичная ошибка, корень среднеквадратичной ошибки, средняя абсолютная ошибка. Выполнена серия экспериментов по генерированию и фильтрации искажённых сигналов. В результате сравнения выбрана мера, для которой характерна высокая различимость оптимальных значений параметра цифрового фильтра при высоких уровнях шума.

Ключевые слова: дискретный сигнал, цифровой фильтр, скользящее среднее, оптимальный параметр, мера различия

Selection of error measure for reference and filtered periodic signals at high levels of fluctuating noise

The article covers selection of a error measure for the results of filtering distorted periodic signals when searching for optimum values of low band digital filter parameters represented by a "simple moving average". The following error measures were selected for comparison – Mean Squared Error, Root Mean Squared Error, Mean Absolute Error. A series of experiments was carried out for the generation and filtering of distorted periodic signals with different noise levels. Ultimately, a measure was selected based on comparison results, representing high sensitivity to the optimum values of the digital filter parameter at high noise levels.

Keywords: discrete signal, digital filter, moving average, optimal parameter, error measure

O.O.Serheiev-Horchynskyi

PhD, Assistant

Institutefor Applied System Analysis

NTUU«Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute»

Ukraine, Kyiv

Введение

При решении технических задач часто возникает необходимость сравнения временных рядов, составленных из значений регистрируемых сигналов, с целью определения степени их подобия. Подобие временных рядов можно оценить при помощи мер различия значений анализируемых сигналов. К задачам, в которых применяют меры различия относятся задачи адаптивной фильтрации, классификации по образцу, обучения по образцу и некоторые другие. В цифровой обработке сигналов при настройке параметров цифровых фильтров по образцовым сигналам, требуется расчет меры различия значений образцового и отфильтрованного сигналов [1].

В [2] поиск оптимального значения параметра цифрового фильтра нижних частот (ФНЧ) «простое скользящее среднее» (ПСС) осуществлялся при сравнении отфильтрованного и аппроксимированного временных рядов. Для оценки различия временных рядов была применена мера «среднеквадратичная ошибка» (СКО). В прикладных методах анализа данных применяются и другие численные показатели различия временных рядов,которые называются «мерами ошибки» (error measures) [3] либо «метриками расстояния» (distancemetrics) [4].

Чтобы проверить целесообразность применения меры СКО для оценки оптимальности фильтрации выполнено исследование характеристик известных мер различия значений дискретных квантованных сигналов.

Выбор мер различия

В процессе исследования была создана библиотека программных модулей для генерирования исходных неискаженных дискретных квантованных сигналов различной формы и их модифицированных копий, полученных путём добавления к исходным сигналам случайной составляющей (помехи) и последующей фильтрации искажённых сигналов. Для минимизации уровня шума был создан «Модуль нерекурсивной фильтрации сигнала». В модуле реализован программный метод фильтрации простым скользящим средним (ПСС). В фильтре ПСС обработанное значение y[k] в момент времени k определяется выражением[2]:

В [3, 4, 5, 6] рассмотрены различные математические выражения для расчета меры различия числовых последовательностей, которые можно разделить на следующие группы: меры расстояния, угловые меры, корреляционные меры. Учитывая результаты экспериментов, приведенные в [6], для анализа были выбраны меры расстояния: среднеквадратичная ошибка, корень среднеквадратичной ошибки, средняя абсолютная ошибка.

Мера «среднеквадратичная ошибка» (СКО, Mean Square Error, MSE) определяется выражением [2]:

Мера «корень среднеквадратичной ошибки» (КСКО, Root Mean Square Error, RMSE) определяется выражением [3]:

Постановка эксперимента

Для оценки характеристик целевых функций сформированных из значений выбранных мер различия при различных значениях параметра цифрового фильтра, был сгенерирован тестовый искажённый синусоидальный сигнал со следующими характеристиками: амплитуда сигнала – 1 В; частота сигнала – 1 Гц; распределение шумовой составляющей – нормальное; среднеквадратичное отклонение – 0.7 В; частота дискретизации – 100 Гц, продолжительность регистрации – 10 с.

Чтобы оценить уровень шума было рассчитано значение отношения сигнал/шум (ОСШ), которое определяется выражением [7]:

Значение ОСШ для сгенерированного сигнала равно 0.14 дБ. Сгенерированный сигнал был обработан при помощи фильтра ПСС со значениями параметра m в диапазоне от 1 до 250, где m – количество искажённых значений сигнала, участвующих в расчете отфильтрованного значения для заданного момента времени k [см. выражение (1)]. Были проведены 250 сравнений и рассчитаны значения мер различия для двух временных рядов: временных рядов исходного неискажённого сигнала и 250 временных рядов отфильтрованных сигналов.

Поскольку значения мер различия могут находится вне интервала [0, 1], для приведения мерк одному диапазону значений, в их выражения было включено деление на максимальное значение (среди всех значений для каждой меры различия) и округление до сотых долей (см. рисунок 1).

Из рисунка 1 видно, что нормированные значения мер различия имеют локальные минимальные значения (экстремумы), т. е. могут быть рассмотрены в качестве целевых функций в задаче поиска оптимальных значений параметра цифрового фильтра. Из рисунка 1 следует, что для значений меры СКО визуально можно выделить два локальных оптимальных значения параметра m (см. рисунок 2): ${{m}_{1}}$ = 28; ${{m}_{2}}$= 249.

Одинаковым значениям мер различия соответствуют значения расположенные на прямолинейных участках экстремумов целевых функций (см. рисунок 1). Поскольку целью экспериментов было определение меры различия, для которой характерна высокая различимость значений экстремумов целевых функции при высоких уровнях шума, было рассчитано количество значений m с равным значением целевой функции. Количество повторений значений целевых функций изображено в виде гистограммы на рисунке 3.

Сравнение мер различия

Для оценки распределений количеств значений m при ОСШ от 37.04 дБ до -16.94 дБ была проведена серия экспериментов по расчету значений меры эксцесса (см. рисунок 4), которая определяется выражением (7) [8]:

где m – параметр цифрового фильтра, M(m) – нормированное округленное значение меры различия для исходного и отфильтрованного (с параметром m) временных рядов, N – количество значений параметра m.

Из рисунка 4 следует, что в отличие от мер различия СКО и КСКО, для которых различимость локальных минимумов целевой функции уменьшается при ОСШ ≥ -8.80дБ, для меры САО различимость уменьшается при ОСШ ≥ -13.84дБ, следовательно мера САО более устойчива к высоким уровням флуктуационного шума.

В целях полноты экспериментов количество форм тестовых сигналов было расширено до четырех: синусоидального, прямоугольного, треугольного и пилообразного. В таблице 1 для всех форм сигналов приведены значения ОСШ соответствующие максимальным значениям эксцесса.

Проанализировав значения ОСШ, приведённые в таблице 1, можно сделать вывод, что мера «средняя абсолютная ошибка» более устойчива к высоким уровням шума, поскольку максимумам значений эксцесса соответствуют наименьшие значения ОСШ среди значений, рассчитанных для трёх мер различия, следовательно применение меры САО позволяет увеличить различимость локальных экстремумов целевых функций в задаче поиска оптимальных значений параметра цифрового фильтра «простое скользящее среднее» при высоких уровнях флуктуационного шума.

Перечень ссылок

$1.$ Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов, 3-е изд. / А.Б. Сергиенко // Санкт-Петербург, 2011. –БХВ-Петербург, 2011. – C. 593-595.

$2.$ Sergeev-Horchynskyi A.A. Periodic signal filtration using digital filtering system calculation optimized by approximation / A.A. Sergeev-Horchynskyi, V.S. Rogoza //Science-Based Technologies. – 2014. – Т. 23, № 3. – P. 284-288.

$3.$ Willmott C.J. Advantages of the mean absolute error (MAE) over the root mean square error (RMSE) in assessing average model performance / C.J. Willmott, K. Matsuura //Climate Research. – Inter-Research, 2005. – Vol. 30. – P. 79-82.

$4.$ Chai T. Root meansquare error (RMSE) or mean absolute error (MAE)? – Arguments against avoidingRMSE in the literature / T. Chai, R.R. Draxler // Geoscientific ModelDevelopment. – Copernicus Publications, 2014. – Vol. 7. – P. 1247-1250.

$5.$ Cha S.-H. Comprehensive Survey on Distance/Similarity Measures between Probability Density Functions / S.-H. Cha // International journal of mathematical modelsand methods in applied sciences. – NAUN, 2007. – Issue 4, Vol. 1. – P. 300-307.

$6.$ Рогоза В.С. Выбор меры подобия цифровых сигналов для расчета оптимальных параметров цифрового фильтра /В.С. Рогоза, А.А. Сергеев-Горчинский // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики. – 2013. – Т. 164. – С. 50-57.

$7.$ Oppenheim A.V. Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed. / A.V. Oppenheim, R.W. Schafer // London, 2010. – Pearson, 2010. – P. 223-227.

$8.$ Смирнов Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики / Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский // Москва, 1969. – Наука, 1969. – C. 85-94.

Jun 13, 2017