Удосконалена формула розрахунку коефіцієнтів ПД-регуляторів для синтезу складних систем



Анотація. В даній статті розглянуті проблеми синтезу складних цифрових систем керування з ПД-регулятором. Пропонується удосконалена формула розрахунку коефіцієн-тів ПД-регуляторів для цифрових систем керування, дина-міка яких описується рівняннями високих порядків. Прове-дені експериментальні дослідження на моделях з викорис-танням програмного пакета MATLAB/Simulink. Підтвердже-ні адекватність та доцільність запропонованої формули.

Ключові слова: синтез, керованість, час перехідного процесу, ПД-регулятор.

Нагайко Дмитро Юрійович

КПІ імені Ігоря Сікорського

Київ, Україна

nagayko.dima@gmail.com

Репнікова Наталія Борисівна

КПІ імені Ігоря Сікорського

Київ, Україна

n.repnikova@gmail.com

An improved formula for calculating the coefficients of PD controllers for the synthesis of complex systems

Abstract. In this paper the problems of synthesis of complex digital control systems with PD controller have been considered. An improved formula for calculating the coefficients of PD controllers for digital control systems, the dynamics of which is described by high-order equations, has been proposed. Experimental studies on models using the MATLAB / Simulink software package have been carried out. Approved adequacy and feasibility of the proposed formula.

Keywords: synthesis, controllability, response time, PD controller.

Dmytro Nahaiko

Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute

Kyiv, Ukraine

nagayko.dima@gmail.com

Natalya Repnikova

Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute

Kyiv, Ukraine

n.repnikova@gmail.com

ВСТУП

Сьогодні інформаційні системи (ІС) займають одне з найважливіших місць в розвитку будь-якого промислового підприємства. Впровадження ІС на підприємстві та пода-льше її вдосконалення надає ряд значних переваг, таких як, автоматизація виробництва, підвищення конкуренто-спроможність, підвищення якості та кількості продукції, зменшення витрат, збільшення прибутку тощо. Одним з ключових етапів впровадження ІС на підпри-ємстві є автоматизація процесів керування конкретними технічними об’єктами чи параметрами технологічного процесу. Тому, розроблення удосконалених алгоритмів цифрового керування різними об’єктами – задача актуа-льна та своєчасна. Одним з найбільш поширених регуляторів в промисло-вості є ПІД-регулятор [1]. Проте зі збільшенням порядку диференціальних рівнянь, що описують динаміку процесів керування, проблематичним стає отримання аналітичних залежностей для розрахунку коефіцієнтів ПІД-регулятора. В літературі [1] запропоновано алгоритм розрахунку коефіцієнтів ПД-регулятора на базі білінійного перетво-рення. Проте в алгоритмі присутній недолік, який припус-кає перебір рішень. В статті пропонується удосконалена формула розра-хунку коефіцієнтів ПД-регуляторів для синтезу складних цифрових систем керування.

ПОСТАНОВКА ТА ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ Розглянемо керований процес, що описується переда-вальною функцією n-го порядку виду:

\[W(s)=\frac{{{K}_{W}}}{s({{T}_{1}}s+1)({{T}_{2}}s+1)\ldots({{T}_{n}}s+1)},\qquad (1)\]

де ${{K}_{W}}$ – коефіцієнт підсилення передавальної функції керованого процесу.

Або якщо перейти до Z-перетворення, отримаємо пе-редавальну функцію об’єкта керування у цифровому вигляді:

\[W(z)=\frac{A{{z}^{n}}+B{{z}^{n-1}}+\ldots+C}{(z-1)(z-{{z}_{1}})\ldots (z-{{z}_{n}})}\qquad (2)\]

Оскільки у виразі (2) присутня інтегрувальна ланка $(z-1)$, то для компенсації коренів ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\ldots {{z}_{n}}$ при умові збереження стійкості скомпенсова-ної системи буде використаний ПnД-регулятор, структур-на схема якого зображена на рис. 1.

Рис. 1. Структурна схема ПnД-регулятора

Алгоритм визначення коефіцієнтів ПnД-регулятора:

$1.$ Визначення граничного коефіцієнта підсилення пе-редавальної функції керованого процесу ${{K}_{b}}$. $1.1$ Визначення передавальної функції скоректованої системи ${{W}_{c}}(z)$:

\[{{W}_{c}}(z)=\frac{{{K}_{b}}{A}'{{z}^{n}}+{{K}_{b}}{B}'{{z}^{n-1}}+\ldots +{{K}_{b}}{C}'}{{{T}^{n}}{{z}^{n}}(z-1)}\qquad (3)\]

де ${A}'=\frac{A}{{{K}_{W}}},{B}'=\frac{B}{{{K}_{W}}},\ldots ,{C}'=\frac{C}{{{K}_{W}}}.$

$1.2$ Визначення характеристичного поліному :

\[D(z)={{z}^{n+1}}+a{{z}^{n}}+b{{z}^{n-1}}+\ldots+c\qquad (4)\]

З урахуванням білінійного перетворення $z=\frac{1+\omega }{1-\omega }$:

\[D(\omega)={a}'{{\omega }^{n+1}}+{b}'{{\omega }^{n}}+{c}'{{\omega }^{n-1}}+\ldots+{d}'\qquad (5)\]

де коефіцієнти при степенях $\omega $ $({a}',{b}',{c}',\ldots,{d}')$ залежать від ${{K}_{W}}$.

$1.3$ Застосування критеріюстійкості Гурвіца до (4) та розрахунок ${{K}_{b}}$.

$2.$ Остаточна системарівнянь для розрахунку коефіцієнтів ПnД-регулятора матиме вигляд:

\begin{equation*} x = \begin{cases} \left( {{K}_{P1}}+\frac{{{K}_{D1}}}{T} \right)\ldots \left( {{K}_{Pn}}+\frac{{{K}_{Dn}}}{T} \right){{K}_{W}}={{K}_{b}} \\ \frac{{{K}_{D1}}}{{{K}_{P1}}T+{{K}_{D1}}}={{z}_{1}}\ldots ;\frac{{{K}_{Dn}}}{{{K}_{Pn}}T+{{K}_{Dn}}}={{z}_{n}} \qquad (5) \\ {{K}_{P1}}+\frac{{{K}_{D1}}}{T}=1;\ldots ;{{K}_{Pn-1}}+\frac{{{K}_{Dn-1}}}{T}=1 \\ \end{cases} \end{equation*}

ПРИКЛАД

Нехай задана передавальна функція неперервної сис-теми 3-го порядку виду:

\[W(s)=\frac{3,5}{0,25{{s}^{3}}+1,2{{s}^{2}}+s},T=0,2c\] Виконаємо перехід до Z-перетворення, та отримаємо передавальну функцію системи керування у цифровому вигляді: \[W(z)=\frac{0,014784{{z}^{2}}+0,047124z+0,009142}{(z-1)(z-0,806807)(z-0,47457)}\] Розрахуємо граничний коефіцієнт за формулами (3-5) та критерієм стійкості Гурвіца, отримаємо: \[{{K}_{b}}=2,5301\] Розв’яжемо систему рівнянь (5), підставивши в неї : \[{{K}_{P1}}=\text{0}\text{.193193},{{K}_{P2}}=\text{0}\text{.37982584}\] \[{{K}_{D1}}=\text{0}\text{.1613614},{{K}_{D1}}=\text{0}\text{.06861197}\] Модель початкової цифрової системи керування та цифрової системи керування з П2Д-регулятором предста-влена на рис. 2. Графіки перехідних процесів зобрадені на рис. 3. Показники якості перехідного процесу системи з П2Д-регулятором наступні: ${{t}_{}}=23c,\delta =0%$.

ВИСНОВКИ

Таким чином, запропонована удосконалена формула розрахунку коефіцієнтів ПД-регуляторів для синтезу скла-дних цифрових систем керування. Це дозволить не тільки стабілізувати систему, але і покращить якість перехідного процесу (звести до нуля перерегулювання, зменшити час перехідного процесу).

ЛІТЕРАТУРА

$1.$ Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления : Пер. с англ. – М., Машиностроение, 1986. – С. 448.

$2.$ Репнікова Н.Б. Синтез цифрових систем управління з ПnД – регуляторами / Н.Б. Репнікова, В.Ю. Федулова, Т.Я. Богодьорова. // Системи обробки інформації. – 2009. – №7(74). – С. 55-59

May 17, 2018