Дослідження методу цифрової апроксимації для вибору періоду квантування за часом



В роботі розглядаються питання синтезу цифрових систем керування на базі математичної платформи передавальних функцій та структурних схем. Запропоновано використання методу цифрової апроксимації для уточнення значення періоду квантування за часом для забезпечення функціонування цифрової системи в стійкій області. Показано, що виконання умови коректності вибору періоду квантування, дозволяє для досліджуваного класу систем, отримати результати синтезу з заданими показниками якості. Виконано моделювання цифрової системи з використанням прикладного пакету MATLAB/Simulink.

Ключові слова--цифрові системи, передавальні функції, Z-перетворення, період квантування за часом, цифрова апроксимація, підвищення якості, моделі MATLAB.

Вступ

На теперішній час опубліковано цілий ряд робіт, які розглядають теоретичні питання аналізу та синтезу цифрових систем на базі передавальних функцій та структурних схем. Всі автори однозначно відзначають важливість моменту вибору такого параметру цифрової системи, як періоду квантування за часом [1, 2, 3]. По-перше, його слід обирати з умови імпульсної теореми (теорема Котельникова), по-друге, з умови забезпечення стійкості досліджуваної цифрової системи.

Як відомо, при використанні зазначеного методу, динаміка систем описується диференційними рівняння з подальшим визначенням передавальної функції (області $s$) та переходу до передавальної функції цифрової системи з використанням $Z$-перетворення $W\left(z\right)$.

Хоча описані процедури є класичними кожна досліджувана цифрова система має свої особливості, і при виконанні аналізу та синтезу, інженери –науковці створюють умови функціонування систем у стійкій площині, опікуючись питанням вибору періоду квантування за часом.

В роботі запропоновано для цифрової апроксимації керованих процесів використовувати метод $Z$-форм та визначати співвідношення параметру періоду квантування з іншими параметрами системи.

Основний матеріал

У відповідності до методу $Z$-форм [1] передавальну функцію цифрової системи можна записати у відповідності за наступним алгоритмом:

  • за заданою передавальною функцією у Лапласі знаходять передавальну функцію замкнутої системи;
  • записують перетворення за Лапласом вихідного сигналу $Y\left(s\right)$ у вигляді раціональної функції за степенями $s$;
  • замінюють $s$ відповідними $Z$-формами, та в кінці ділять на період квантування за часом ($T$);
  • з використанням $Z$-перетворення одиничного стрибка, записують передавальну функцію.

Пропонується для визначення значення періоду квантування за часом, який забезпечує функціонування цифрової системи у стійкій області використовувати співвідношення зазначеного параметру до значення коефіцієнту підсилення ($K$) досліджуваної системи. При цьому до визначеної передавальної функції замкнутої системи та відповідного характеристичного рівняння застосовуються критерії стійкості та будується залежність значень $K$ і $T$, які відповідають стійкості системи.

Експериментальні дослідження

На прикладі системи третього порядку, яка описується передавальною функцією виду \begin{eqnarray} W(s)=\frac{K}{({{T}_{1}}s+1)({{T}_{2}}s+1)({{T}_{3}}s+1)} \end{eqnarray} виконаємо вибір періоду квантування за часом $T$ запропонованим методом.

Обчислимо передавальну функцію замкнутої системи як:

\begin{eqnarray} {{W}_{3}}\left( s \right)=\frac{K}{A{{s}^{3}}+B{{s}^{2}}+Cs+1+K}, \end{eqnarray} де $A={{T}_{1}}{{T}_{2}}{{T}_{3}}$, $B={{T}_{1}}{{T}_{2}}+\left( {{T}_{1}}+{{T}_{2}} \right){{T}_{3}}$, $C=\left( {{T}_{1}}+{{T}_{2}} \right){{T}_{3}}$.

Представимо вихідну функцію, як

\begin{eqnarray} Y\left( s \right)=\frac{K{{s}^{-4}}}{A+B{{s}^{-1}}+C{{s}^{-2}}+\left( 1+k \right){{s}^{-3}}} \end{eqnarray}

та використовуючи відповідні $Z$-форми, отримаємо

\begin{eqnarray} Y\left( z \right)=\frac{K\frac{{{T}^{4}}}{6}\cdot \frac{{{z}^{-1}}+4{{z}^{-2}}+{{z}^{-3}}}{\left( 1-{{z}^{-1}} \right)4}\cdot \left( -\frac{{{T}^{4}}}{720} \right)}{A+B\frac{T}{2}\left( \frac{1+{{z}^{-1}}}{1-{{z}^{-1}}} \right)+C\frac{{{T}^{2}}}{12}\cdot \left( \frac{1+10{{z}^{-1}}+{{z}^{-2}}}{{{\left( 1-{{z}^{-1}} \right)}^{2}}} \right)+\left( 1+K \right)\frac{{{T}^{3}}}{1}\cdot \frac{{{z}^{-1}}+{{z}^{-2}}}{{{\left( 1-{{z}^{-1}} \right)}^{3}}}}. \end{eqnarray}

Використовуючи критерії стійкості можна показати, що значення$K$ і $T$, відповідають стійкій моделі, яка зв'язана залежністю приведеною на рис.1

Рис. 1 Результати досліджень стійкості системи, де $T_1$=10, $T_2$=0.5, $T_3$=20

Перевіримо отримані результати з використанням моделювання досліджуваної цифрової системи за допомогою MATLAB/Simulink. Будемо виконувати моделювання цифрових систем з вибраним співвідношенням коефіцієнту підсилення та періоду квантування області стійкої та нестійкої систем (рис.1).

Варіант 1. Модель передавальної функції цифрової системи в Simulink при $К$=0.1 і $Т$= 0.5с (стійка область) та відповідно графік перехідного процесу рис.2, 3.

Рис. 2 Модель цифрової системи

Рис. 3 Графік перехідного процесу

Варіант 2. Модель передавальної функції цифрової системи в Simulink при $К$=0.5 і $Т$=0.5с (нестійка область) та відповідний перехідний процес зображено на рис.4, 5.

Рис. 4 Модель цифрової системи

Результати моделювання представлені на рис. 5.

Рис. 5 Графік перехідного процесу

Як видно, з представлених графіків перехідних процесів, вибране співвідношення коефіцієнту підсилення та періоду квантування за часом з стійкої та нестійкої областей демонструє повну адекватність запропонованої методики.

Висновки

У даній публікації було обчислено співвідношення параметрів цифрової системи до періоду квантування за часом, яке забезпечує функціонування системи у стійкій області. Для цифрової апроксимації керованого процесу використовувався метод z-форм. За допомогою проведених дослідів з моделювання досліджуваних цифрових систем показана достовірність отриманих результатів.

Література

{1} Куо Б. Теория и проектирование цифрових систем управления / Перевод с анг. – М.: Машиностроение, 1986, 448 с.

{2} Олссон Г. Цифровые систесы автоматизации и управления/ Г. Олссон, Д Пиани/ перевод с анг. – Невский диалект, 2001, 3-е издание.

{3} 3. Поляков К.Ю. Основы цифровых систем управления/ Изд-во СПбГМТУ, 2012, 154с.

Dec 2, 2021