Синтез багатовимірних систем керування з неквадратними матрицями



В роботі запропоновано розширення можливостей синтезу структур лінійних багатовимірних систем з неквадратними матрицями на базі формули Р. Ізермана. Розглядаються цифрові системи керування, що описуються моделями простору станів. Показано, що виконання умови коректності вибору розмірностей матриць рівнянь стану і виходу, дозволяє для досліджуваного класу систем, отримати результати синтезу з заданими показниками якості. Виконано моделювання цифрової системи з неквадратними матрицями з використанням прикладного пакету MATLAB/Simulink.

Ключові слова--цифрові системи, багатовимірні системи, підвищення якості, цифровий регулятор станів, модель простору станів, неквадратні матриці, моделі MATLAB.

Вступ

На теперішній час опубліковано цілий ряд робіт, які розглядають теоретичні питання аналізу та синтезу цифрових систем на базі методу простору станів. Як відомо, при використанні зазначеного методу, динаміка систем описується диференційними рівняння стану та виходу виду: \begin{eqnarray} \mathbf{x}\left[ n+1 \right]=\mathbf{Ax}\left[ n \right]+\mathbf{Bu}\left[ n \right], \ \mathbf{y}\left[ n \right]=\mathbf{Cx}\left[ n \right]+\mathbf{Du}\left[ n \right],\nonumber
\end{eqnarray} де $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}$ — матриці відповідних розмірностей.

Хоча кожна досліджувана модель має свої особливості, при виконанні синтезу, всі вони об'єднуються головним змістом, а саме створенням зворотного зв'язку за станом, який забезпечує задане розташування полюсів замкнутої системи. При цьому вираз для керуючого впливу має вигляд: \begin{eqnarray} \mathbf{u}\left[ n \right]=-\mathbf{Kx}\left[ n \right],
\end{eqnarray} де $\mathbf{K}$ - матриця зворотних зв'язків за станом.

Слід зазначити, що теоретичне обґрунтування задач синтезу моделей с одним входом та одним виходом широко представлені у літературі [1]. Для багатовимірних систем існує поняття автономних та багатозв'язних систем [2]. Якщо для перших є достатня кількість прикладів вирішення задач синтезу, то для багатозв'язних систем іноді дослідникам доводиться виконувати авторське теоретичне обґрунтування запропонованих рішень. В роботі розглядаються питання синтезу багатозв'язної цифрової системи на базі відомої формули Р. Ізермана. При цьому задача ускладнюється вибором неквадратних матричних структур.

Основний матеріал

У відповідності до формули Р. Ізермана [3], матриця зворотних зв'язків за станом розраховується як \begin{eqnarray} \mathbf{K=}{{[\mathbf{CB}]}^{-1}}[\mathbf{CA-TC}],
\end{eqnarray} де $\mathbf{T}$ - матриця власних значень системи.
Запишемо вираз (3) через розмірності матриць в загальному вигляді для визначення результуючої розмірності матриці $\mathbf{K}$.

\begin{eqnarray} \left[ \mathbf{K} \right]={{\left[ \left( l\times n \right)\left( n\times r \right) \right]}^{-1}}\left[ \left( l\times n \right)\left( n\times n \right)-\left( l\times l \right)\left( l\times n \right) \right]= \ ={{\left[ \left( l\times r \right) \right]}^{-1}}\left[ \left( l\times n \right)-\left( l\times n \right) \right]=\left( r\times l \right)\left( l\times n \right)=\left( r\times n \right). \nonumber
\end{eqnarray}

Для забезпечення заданих показників якості використовуємо формулу визначення корегуючих коефіцієнтів. \begin{eqnarray} {{\mathbf{K}}^{*}}={{\mathbf{T}}^{-1}}{{\mathbf{K}}_{h}}^{-1}{{\left[ \begin{matrix} \frac{1}{1-{{z}_{1}}} & 0 \ 0 & \frac{1}{1-~{{z}_{2}}} \ \end{matrix} \right]}^{-1}}\mathbf{E}.
\end{eqnarray} \begin{eqnarray} {{\mathbf{K}}_{h}}=\left[ \begin{matrix} {{k}_{h11}} & 0 & 0 \ 0 & {{k}_{h22}} & 0 \ 0 & 0 & {{k}_{hlr}} \ \end{matrix} \right], \ {{k}_{hij}}={{c}_{ii}}{{b}_{jj}}~i=1,2..l;j=1,2..r, \nonumber \end{eqnarray} де $z_1, z_2$ – бажані корені.

Підставивши в формулу (5) розмірності відповідних матриць, визначимо умову коректності вибору розмірностей для можливості проведення синтезу багатозв'язної цифрової системи з неквадратними матрицями: \begin{eqnarray} \left[ {{\mathbf{K}}^{*}} \right]={{\left( l\times l \right)}^{-1}}{{\left( l\times r \right)}^{-1}}{{\left( l\times l \right)}^{-1}}\left( l\times l \right)= \ =\left( l\times l \right)\left( r\times l \right)\left( l\times l \right)\left( l\times l \right). \nonumber \end{eqnarray} Таким чином, відповідно до виразу (7), використати метод синтезу для неквадратних матриць можна лише у випадку коли $r=l$.

Експериментальні дослідження

Для векторно-матричної моделі, яка описує динаміку цифрової багатовимірної системи з відповідними матрицями виду (8). \begin{eqnarray} \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} -0,3 & 3 & -1 \ -0,1 & -0,5 & 0 \ 0,3 & -0,7 & -0,1 \ \end{matrix} \right],\mathbf{B}=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \ 0 & 0 \ \end{matrix} \right], \ \mathbf{C}=\left[ \begin{matrix} 1,2 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ \end{matrix} \right],\mathbf{D}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ \end{matrix} \right]. \nonumber \end{eqnarray} Виконаємо синтез регулятора, який буде забезпечувати нульове перерегулювання, нульову усталену помилку та скорочення часу керування. В системі діють два вхідні впливи, відповідно 1 та 4.

Моделювання виконується за допомогою пакету MATLAB/Simulink. На рис.1 представлені графіки перехідних процесів вихідної системи за двома виходами.

Рис. 1 Графіки перехідних процесів вихідної системи

Як видно з графіків, кожен стан системи впливає на інший, присутні велике перерегулювання та усталена помилка керування.

З урахуванням умови коректності вибору розмірностей матриць формул (1), (3) розраховуємо матрицю коефіцієнтів спостерігаючого пристрою (9).

\begin{eqnarray} \mathbf{H}=\left[ \begin{matrix} -0,25 & 3 \ -0,0833 & -0,4 \ 0,25 & -0,7 \ \end{matrix} \right]. \end{eqnarray}

Використовуючи (9) розраховуємо матриці моделі простору-станів спостерігаючого пристрою, на основі яких будується об'єднаний регулятор (11) за формулами (10). \begin{eqnarray} {{\mathbf{A}}_{p}}=\left[ {{\mathbf{A}}_{sp}}-\mathbf{BK} \right],\nonumber \ {{\mathbf{B}}_{p}}=\left[ \begin{matrix} \mathbf{B} & \mathbf{H} \ \end{matrix} \right], \ \nonumber {{\mathbf{C}}_{p}}=\left[ -\mathbf{K} \right], \ {{\mathbf{D}}_{p}}=\left[ \begin{matrix} \mathbf{E} & \mathbf{0} \ \end{matrix} \right]. \nonumber \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} {{\mathbf{A}}_{p}}=\left[ \begin{matrix} 0,4 & -3 & 0 \ 0,1 & 0,5 & 0 \ 0 & 0 & -0,1 \ \end{matrix} \right],\nonumber \ {{\mathbf{B}}_{p}}=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -0,25 & 3 \ 0 & 2 & -0.833 & -0,4 \ 0 & 0 & 0,25 & -0,7 \ \end{matrix} \right], \ {{\mathbf{C}}_{p}}=~\left[ \begin{matrix} 0,2 & -1,5 & 0,5 \ 0,05 & 0,3~ & 0 \ \end{matrix} \right],\nonumber \ {{\mathbf{D}}_{p}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ \end{matrix} \right]. \nonumber \end{eqnarray}

Рис. 2 Структурна схема з об'єднаним регулятором

Результати моделювання представлені на рис.3.

Рис. 3 Перехідні процеси моделі з об’єднаним регулятором

Як видно з графіків перехідного процесу, синтез регулятора забезпечує задану якість багатовимірній цифровій системі.

Висновки

Таким чином, у роботі виведена умова коректності вибору розмірностей відповідних матриць для забезпечення можливості проведення синтезу цифрової багатовимірної системи з неквадратними матрицями.

При цьому розширюється границя області використання формули Р.Ізермана для забезпечення розв'язання перехресних зв'язків за станом.

Література

{1} Куо Б. Теория и проектирование цифрових систем управления / Перевод с анг. – М.: Машиностроение, 1986, 448 с.

{2} Ким Д.П. Теория автоматического управления Т.2 Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы/ Д.П. Ким – М.:Физматлит, 2007.-440 с.

{3} Изерман Р. Цифровые системы управления/ Пер. с анг.- М.: Мир, 1984, 541с.

Dec 2, 2021