МЕТОДИ Й МОДЕЛІ АВТОМАТИЗАЦІЇ КЕРУВАННЯ СТАТИСТИЧНИМ ВИМІРЮВАЛЬНИМ ІНФОРМАЦІЙНИМ КОМПЛЕКСОМ ПРИ ОЦІНЮВАННІ ПАРАМЕТРІВ СПОСТЕРЕЖУВАНИХ ПРОЦЕСІВ



В роботі здійснена формалізація задачі керування статистичним вимірювальним комплексом (ВІК) і доведено, що задача керування за неповними даними може бути зведена до еквівалентної задачі керування за повними даними. Запропоновано метод розв’язання формалізованої задачі керування, що є сукупністю дискретного принципу мінімуму і методу послідовних наближень.

Ключові слова: статистичний вимірювальний комплекс, керування, принцип максимуму, метод послідовних наближень.

METHODS AND MODELS OF AUTOMATION CONTROL BY STATISTICALLY MEASURING INFORMATION COMPLEX IN PARAMETER ESTIMATION OF OBSERVED PROCESSES

The work carried out formalization task of statistical measurement complex control and proved that the problem of control on based incomplete data can be reduced to an equivalent problem of control onbased full data. A formalized method of solving the problem of control, which is a combination of discrete minimum principle and method of successive approximations, was introduced.

Keywords: statistical measuring system, control, maximum principle, the method of successive approximations.

Igor Yu. Grishin, professor, Rena R. Timirgaleeva, professor, Kuban State Technological University, Russia, Krasnodar

Будемо розглядати задачу синтезу оптимальних байєсовських стратегій керування стохастичними комплексами. Рішення рівнянь типа Беллмана в натикається на ряд труднощів. Перша полягає в тім, що протягом часу зростає обсяг інформації про минулі стани системи, що вкрай заважає пошук оптимальних керувань. Доцільно здійснити редукцію даних із збереженням інформації, достатньої для вирішення питання про структуру оптимальних керувань. При наявності транзитивних достатніх статистик вивчення вихідної системи керування редукується до вивчення деякої іншої системи, станами якої є вказані достатні статистики. При цьому вихідна задача оптимального керування за неповними даними зводиться до деякої задачі оптимального керування, але вже за повними даними. Якщо, крім того,виявляється, що оптимальне керування в момент часу $t$ залежить лише від значень статистик в цей же момент часу, то розв’язання задачі спрощується. Хоча клас можливих управлінь при редукції задачі звужується, однак розширення його до вихідного, тобто до класу функціоналів від всіх спостережень, як виявляється, не покращує якості керування.

Для розуміння місця вирішуваної задачі в класі задач керування за неповними даними розглянемо постановку даного класу задач в загальному вигляді.

Нехай $\left( \upsilon \left( t \right),\text{}\mathbf{Y}\left( t \right) \right)=\left[ \left( {{\upsilon }_{1}}\left( t\right),\ldots ,\text{ }{{\upsilon }_{N}}\left( t \right) \right),\text{}\left( {{\mathbf{Y}}_{1}}\left( t \right),\ldots ,\text{ }{{\mathbf{Y}}_{M}}\left(t \right) \right) \right]*$, $t=0,\text{ }1,\ldots ,\text{ T}$ - керована послідовність випадкових векторів $\upsilon \left( t \right)$ і $\mathbf{Y}\left(t \right)$, які задані рекурентними рівняннями [1]

\[{{\upsilon }_{i}}\left( t+1\right)={{\mathbf{C}}_{i}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{v}}_{t}}\right)+{{\mathbf{}}_{i}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{w}}_{t}} \right){{\upsilon}_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{b}}_{i}}\left( t,\text{ }{{\xi }_{t}}\right){{\mathbf{\varepsilon }}_{1i}}\left( t+1 \right),\quad\quad\quad(1)\]

\[{{\mathbf{Y}}_{j}}\left( t+1\right)={{\mathbf{H}}_{j}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{u}}_{t}} \right){{\upsilon}_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{B}}_{j}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{\xi }}_{t}}\right){{\mathbf{\varepsilon }}_{2j}}\left( t+1 \right).\quad\quad\quad(2)\]

Будемо вважати, що випадкові вектори $\upsilon \left( 0 \right)$ і $\mathbf{Y}\left( 0 \right)$ не залежать від незалежних гаусовських випадкових векторів ${{\mathbf{\varepsilon}}_{1}}\left( t \right)$ і ${{\mathbf{\varepsilon }}_{2}}\left( t \right)$,і мають гаусовське сумісне розподілення з відомими параметрами.

Процес $\upsilon \left( t \right)$ є неспостереженим, а спостереженню доступні тільки реалізації процесу $\mathbf{Y}\left( t \right)$. При цьому вектори ${{\mathbf{u}}_{t}}$ (керування) обираються на основі спостережень $\mathbf{Y}\left( t \right)$ з метою мінімізації показника якості керування [1, 2]

\[\mathbf{\ M}\left\{\sum\limits_{t=0}^{T}{l\left( t,\text{ }~\upsilon \left( t \right),\text{}\mathbf{Y}\left( t \right),\text{ }{{\mathbf{u}}_{t}} \right)} \right\},\quad\quad\quad(3)\]

де $l\left(t,\text{ }~\upsilon \left( t \right),\text{ }\mathbf{Y}\left( t \right),\text{}{{\mathbf{u}}_{t}} \right)$ - деяка ненегативна функція своїх перемінних.

Допустимими керуваннями в розглядуваній системі є деякі функціонали $\left( t,\text{}{{\mathbf{Y}}^{t}} \right)$ спостережуваного процесу ${{\mathbf{Y}}^{t}}=\left(\mathbf{Y}\left( 0 \right),\text{ }\mathbf{Y}\left( 1 \right),\text{ }\ldots,\mathbf{Y}\left( T \right) \right)$ наступного виду

\[{{\mathbf{v}}_{t}}={{\psi }_{1}}\left( t,\text{}{{\mathbf{Y}}^{t}} \right),\text{ }{{\mathbf{u}}_{t}}={{\psi }_{2}}\left(t,\text{ }{{\mathbf{Y}}^{t}} \right),{{\mathbf{w}}_{t}}={{\psi }_{3}}\left(t,\text{ }{{\mathbf{Y}}^{t}} \right).\quad\quad\quad(4)\]

Будемо також вважати, що елементи випадкових матричних функцій ${{\mathbf{b}}_{i}}\left(t,\text{ }{{\xi }_{t}} \right)$ і ${{\mathbf{B}}_{j}}\left( t,\text{}{{\mathbf{\xi }}_{t}} \right)$ володіють кінцевою дисперсією.

Прийняті припущення гарантують скінченність величини $M\left\{ {{\left| {{\mathbf{\upsilon }}^{t}}\right|}^{2}}+{{\left| {{\mathbf{Y}}^{t}} \right|}^{2}} \right\}\left\langle\infty \right.$ [3, 4]. Дана обставина забезпечує існування умовного математичного очікування ${{\mathbf{m}}_{t}}=\mathbf{M}\left\{{{\mathbf{\upsilon }}^{t}}/{{\mathbf{Y}}^{t}} \right\}$ і умовної дисперсії ${{\mathbf{\gamma}}_{t}}=\mathbf{M}\left\{ \left( {{\mathbf{\upsilon }}^{t}}-{{\mathbf{m}}_{t}}\right){{\left( {{\mathbf{\upsilon }}^{t}}-{{\mathbf{m}}_{t}}\right)}^{T}}/{{\mathbf{Y}}^{t}} \right\}$ [2].

Слід відзначити, що оскільки керування для мінімізації функціоналу (3) обираються з досить загального класу функціоналів і система рекурентних рівнянь (1), (2) не є лінійною, вказаний процес, не дивлячись на те, що він породжується гаусовськими величинами, не є гаусовським. Однак в роботі [1] показано, що такий процес є умовно гаусовським, що дозволяє ефективно знаходити параметри умовного розподілення і, відповідно, вирішувати задачу фільтрації неспостережуваного вектора ${{\mathbf{\upsilon}}^{t}}$ за спостереженнями ${{\mathbf{Y}}^{t}}$[2].

У відповідності до теорії віддільності [5] в розглядуваній загальній задачі (1) – (3) існує оптимальне керування наступного виду

\[\mathbf{v}_{t}^{o}=\varphi _{1}^{o}\left(t,\text{ }{{\mathbf{m}}_{t}},\text{ }{{\mathbf{\gamma }}_{t}},\text{}{{\mathbf{Y}}^{t}} \right),\text{ }\mathbf{u}_{t}^{o}=\varphi _{2}^{o}\left(t,\text{ }{{\mathbf{m}}_{t}},\text{ }{{\mathbf{\gamma }}_{t}},\text{}{{\mathbf{Y}}^{t}} \right),\mathbf{w}_{t}^{o}=\varphi _{3}^{o}\left( t,\text{}{{\mathbf{m}}_{t}},\text{ }{{\mathbf{\gamma }}_{t}},\text{ }{{\mathbf{Y}}^{t}}\right).\quad\quad\quad(5)\]

Отже, в задачі керування за неповними даними (1) – (3) достатніми транзитивними статистиками є величини $\left( {{\mathbf{m}}_{t}},\text{ }{{\mathbf{\gamma}}_{t}},\text{ }{{\mathbf{Y}}^{t}} \right)$, тобто, вдалось трансформувати задачу керування за неповними даними до еквівалентної задачі керування за повними даними, оскільки величини $\left( {{\mathbf{m}}_{t}},\text{}{{\mathbf{\gamma }}_{t}},\text{ }{{\mathbf{Y}}^{t}} \right)$ підлягають вимірюванню або оцінюванню.

Задача керування статистичним ВІК при спостереженні за досліджуваними процесами або об’єктами з метою оцінки їх параметрів може бути уточнена з точки зору постановки, оскільки в цьому випадку керування об’єктом, параметри якого підлягають оцінці, не відбувається. Тоді співвідношення (1), (2) можуть бути перетворені до виду

\[{{\upsilon }_{i}}\left( t+1\right)={{\mathbf{C}}_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{}}_{i}}\left( t\right){{\upsilon }_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{b}}_{i}}\left( t,\text{}{{\xi }_{t}} \right){{\mathbf{\varepsilon }}_{1i}}\left( t+1 \right),\quad\quad\quad(6)\]

\[{{\mathbf{Y}}_{j}}\left( t+1\right)={{\mathbf{H}}_{j}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{u}}_{t}} \right){{\upsilon}_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{B}}_{j}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{\xi }}_{t}}\right){{\mathbf{\varepsilon }}_{2j}}\left( t+1 \right).\quad\quad\quad(7)\]

Також припустимо, що матриці ${{\mathbf{b}}_{i}}\left(t,\text{ }{{\xi }_{t}} \right)={{\mathbf{b}}_{i}}\left( t \right)$ і ${{\mathbf{B}}_{j}}\left(t,\text{ }{{\mathbf{\xi }}_{t}} \right)={{\mathbf{B}}_{j}}\left( t \right)$, тобто не залежать від вимірюваних статистичним ВІК параметрів, що відповідає практиці функціонування ВІК.

В цьому випадку вирази (1), (2) ще більше спрощуються і приймають вид

\[{{\upsilon }_{i}}\left( t+1\right)={{\mathbf{C}}_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{}}_{i}}\left( t\right){{\upsilon }_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{b}}_{i}}\left( t\right){{\mathbf{\varepsilon }}_{1i}}\left( t+1 \right),\quad\quad\quad(8)\]

\[{{\mathbf{Y}}_{j}}\left( t+1\right)={{\mathbf{H}}_{j}}\left( t,\text{ }{{\mathbf{u}}_{t}} \right){{\upsilon}_{i}}\left( t \right)+{{\mathbf{B}}_{j}}\left( t \right){{\mathbf{\varepsilon}}_{2j}}\left( t+1 \right).\quad\quad\quad(9)\]

а функціонал (3) залежить лише від ${{\mathbf{\gamma }}_{t}}$, ${{\mathbf{u}}_{t}}$ і $t$, тобто від дисперсії похибок оцінок параметрів спостережуваних об’єктів, керованих впливів і часових інтервалів функціонування системи

\[\mathbf{\ M}\left\{\sum\limits_{t=0}^{T}{l\left( t,\text{ }~{{\mathbf{\gamma }}_{t}},\text{}{{\mathbf{u}}_{t}} \right)} \right\}.\quad\quad\quad(10)\]

Тоді застосувавши теорему віддільності [5] можна показати, що якщо $\mathbf{u}_{t}^{o}$ – оптимальне керування, то

\[R\left( 0,\text{ }{{\mathbf{\gamma }}_{0}}\right)=\underset{\mathbf{u}}{\mathop{\min }}\,\mathbf{\ M}\left\{\sum\limits_{s=0}^{T}{l\left( s,\text{ }~{{\mathbf{\gamma }}_{s}},\text{}\mathbf{u} \right)} \right\},\quad\quad\quad(11)\]

де $R\left( \cdot \right)$ - деяка вимірювана кінцева функція.

Таким чином послідовність коваріаційних матриць похибок оцінок параметрів спостережуваних об’єктів (процесів) виявляється детермінованою величиною (функцією тільки часу), а також достатньою статистикою для синтезу оптимального керування статистичним ВІК.

Враховуючи динамічний характер задач керування спостереженнями, для приблизного їх вирішення можуть бути використані алгоритми, засновані на дискретному аналогу принципу максимуму [6, 7, 8].

Застосуємо для знаходження оптимального керування розглядуваною системою дискретний принцип мінімуму в матричній формі.

Еволюція системи описується матричним різницевим рівнянням

\[{{\mathbf{X}}_{k+1}}-{{\mathbf{X}}_{k}}={{\mathbf{F}}_{k}}\left({{\mathbf{X}}_{k}},{{\mathbf{U}}_{k}} \right),\text{ }k=0,\text{ }1,\ldots ,\text{ }N-1,\quad\quad\quad(12)\]

де ${{\mathbf{X}}_{k}}$ - матриця стану, ${{\mathbf{U}}_{k}}$ - матриця керування.

Функціонал якості системи є скалярним

\[J=K\left( {{\mathbf{X}}_{N}}\right)+\sum\limits_{k=0}^{N-1}{{{L}_{k}}\left({{\mathbf{X}}_{k}},{{\mathbf{U}}_{k}} \right).}\quad\quad\quad(13)\]

Припускається, що ${{\mathbf{F}}_{k}}$, $K$ і ${{L}_{k}}$ задовольняють вимогам дискретного принципу мінімуму.

Гамільтоніан системи, що оптимізується, має наступний вид

\[H\left({{\mathbf{X}}_{k}},{{\mathbf{P}}_{k+1}},{{\mathbf{U}}_{k}} \right)\equiv{{L}_{k}}\left( {{\mathbf{X}}_{k}},{{\mathbf{U}}_{k}} \right)+tr\left[{{\mathbf{F}}_{k}}\left( {{\mathbf{X}}_{k}},{{\mathbf{U}}_{k}} \right)\mathbf{P}_{k+1}^{\text{T}}\right],\quad\quad\quad(14)\]

де ${{\mathbf{P}}_{k}}$ - матриця спряжених змінних.

Якщо $\mathbf{U}_{k}^{*},\text{}k=0,\text{ }1,\ldots ,\text{ }N-1$ є оптимальними керуваннями, а $\mathbf{X}_{k}^{*},\text{}k=0,\text{ }1,\ldots ,\text{ }N$ - оптимальними станами, то в відповідності до дискретного принципу мінімуму в матричній формі існують матриці спряжених змінних $\mathbf{P}_{k}^{*},\text{ }k=0,\text{ }1,\ldots ,\text{ }N$, які задовольняють наступним співвідношенням.

$1.$ Канонічне рівняння:

\[{{\mathbf{X}}_{k+1}}-{{\mathbf{X}}_{k}}={{\left.\frac{\partial H}{\partial {{\mathbf{P}}_{k+1}}}\right|}_{*}}={{\mathbf{F}}_{k}}\left( \mathbf{X}_{k}^{*},\mathbf{U}_{k}^{*}\right),\quad\quad\quad(15)\]

\[\mathbf{P}_{k+1}^{*}-\mathbf{P}_{k}^{*}=-{{\left.\frac{\partial H}{\partial {{\mathbf{X}}_{k}}} \right|}_{*}}.\quad\quad\quad(16)\]

$2.$ Граничні умови:

в начальний момент часу ( $k=0$ )

\[\mathbf{X}_{0}^{*}={{\mathbf{X}}_{0}},\quad\quad\quad(17)\]

в кінцевий момент часу $k=N$

\[\mathbf{P}_{N}^{*}=\frac{\partial K\left(\mathbf{X}_{N}^{*} \right)}{\partial \mathbf{X}_{N}^{*}}.\quad\quad\quad(18)\]

$3.$ Мінімізація Гамільтоніана:

для всіх ${{\mathbf{U}}_{k}}\in \Omega ,\text{ }k=0,\text{}1,\ldots ,\text{ }N-1$ має виконуватися умова

\[H\left(\mathbf{X}_{k}^{*},\mathbf{P}_{k+1}^{*},\mathbf{U}_{k}^{*} \right)\le H\left(\mathbf{X}_{k}^{*},\mathbf{P}_{k+1}^{*},{{\mathbf{U}}_{k}} \right),\quad\quad\quad(19)\]

якщо ${{\mathbf{U}}_{k}}$ необмежені, то умова (19) замінюється наступною умовою

\[{{\left. \frac{\partial H}{\partial{{\mathbf{U}}_{k}}} \right|}_{*}}=\mathbf{0}.\quad\quad\quad(20)\]

Тут використовується поняття матричного градієнта скалярної функції [8, 9] $f\left( \mathbf{X} \right)$, що записується в виді $\frac{\partial f\left( \mathbf{X} \right)}{\partial\mathbf{X}}$, причому елементи цієї матриці розраховуються у відповідності до виразу

\[{{\left[ \frac{\partial f\left( \mathbf{X}\right)}{\partial \mathbf{X}} \right]}_{ij}}=\frac{\partial f\left( \mathbf{X}\right)}{\partial {{x}_{ij}}}.\quad\quad\quad(21)\]

На основі теореми віддільності показано, що в задачах керування спостереженнями розглядуваного типу достатньою статистикою є коваріаційна матриця похибок оцінок параметрів [8].

Тоді гамільтоніан системи відповідно до (14) може бути представлений в наступному виді

\[H\left(\mathbf{y}\left( t \right),\text{ }\mathbf{P}\left( t+1 \right),\text{}\mathbf{\alpha }\left( t \right)\right)=\sum\limits_{i=1}^{N+1}{{{\mathbf{F}}_{i}}\left[t,{{\mathbf{y}}_{i}}\left( t \right)\text{,}\mathbf{\alpha }\left( t \right)\right]}\mathbf{P}_{i}^{\text{T}}\left( t+1 \right)+\] \[+\sum\limits_{i=1}^{N}{\left\{tr\left( {{\mathbf{h}}_{i}}\left( t \right){{\mathbf{\Psi }}_{i}}\left( t\right) \right) \right.}+\left. \sum\limits_{j=1}^{M}{{{\alpha }^{ij}}\left( t\right)\left[ {{\mathbf{\Gamma }}_{j}}\left( t \right)+\left(1-{{x}^{ij}}\left( t \right) \right){{\gamma }_{j}}\left( t \right) \right]}\right\}.\quad\quad\quad(22)\]

Аналіз складу виразу (22) показав, що гамільтоніан має лінійну структуру

\[H\left( \mathbf{y}\left(t \right),\text{ }\mathbf{P}\left( t+1 \right),\text{ }\mathbf{\alpha }\left( t\right) \right)={{H}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{N}{\sum\limits_{j=1}^{M}{{{\alpha}^{ij}}\left( t \right)H_{\alpha }^{ij}\left( t \right).}}\quad\quad\quad(23)\]

Таким чином, гамільтоніан є лінійним за керуванням ${{\alpha }^{ij}}\left( t \right)$, що є важливим висновком для синтезу практично реалізуємих алгоритмів керування.

Застосування дискретного принципу мінімуму полягає в тім, що на оптимальній в смислі мінімуму функціоналу (22) послідовності матриць керування $\mathbf{\alpha}\left( t \right),\text{ }t=1,\text{ }\mathrm{2}\mathrm{,}\ldots \mathrm{, }T-1$, що задовольняє вимогам (2.30), (2.31), гамільтоніан $H$, що визначається співвідношеннями (22) або (23), досягає свого мінімуму. З мінімуму гамільтоніана $H$ з врахуванням обмежень на $\mathbf{\alpha}\left( t \right)$, слідує висновок, що в кожен момент часу $t\in \left\{1,\text{ }\mathrm{2}\mathrm{,}\ldots \mathrm{, }T-1 \right\}$ оптимальне керування $\mathbf{\alpha }\left( t \right)$ буде задовольняти наступним умовам:

$1.$ ${{\alpha }^{ij}}\left( t \right)=0$ для тих об’єктів із множини $i\in\left\{ 1,\text{ 2},\ldots ,\text{ N} \right\}$, для яких виконується хоча бодна з умов

$2.$ ${{\alpha }^{ij}}\left( t\right)=1$ в тому випадку, коли існує таке значення з множини $i\in \left\{1,\text{ 2},\ldots ,\text{ N} \right\}$, для якого виконуються умови

\[H_{\alpha }^{ij}\left( t \right)=\underset{\nu \in \left\{ 1,\text{ 2},\ldots ,\text{ N} \right\}}{\mathop{\min }}\,H_{\alpha }^{\nu j}\left( t \right),\text{ }j\in \left\{ 1,\text{ }\mathrm{2}\mathrm{,}\ldots \mathrm{, }M \right\}\text{, }t\in \left\{ 1,\text{ }\mathrm{2}\mathrm{,}\ldots \mathrm{, }T-1 \right\}.\quad\quad\quad(25)\]

Для оптимізації таких процесів може бути запропонований метод розв’язання подібного класу задач оптимізації,заснований на суміщенні дискретного принципу мінімуму і метода послідовних приближень. Суть його полягає в наступному.

$1.$ Обирається деяке початкове приближення керування $\mathbf{\hat{\alpha}}\left( t \right)$, $t=1,\text{ }\mathrm{2}\mathrm{,}\ldots \mathrm{, }T-1$ (зазвичай виходять з припущення рівнодискретного вимірювання параметрів всіх спостережуваних об’єктів або процесів), і по ньому розраховуються всі траєкторії ${{\mathbf{\Psi }}_{i}}\left( t \right)$, $\mathbf{X}\left( t\right)$. Потім (в зворотному часі) визначаються всі траєкторії спряжених змінних ${{\mathbf{P}}_{i}}\left( t \right)$, $i=1,\text{ }2,\ldots ,\text{ }N+1$, $t=T,\text{}T-1,\ldots ,\text{ 0}$.

$2.$ При цьому попутно розраховуються на кожному кроці градієнти $H_{\alpha}^{ij}\left( t \right)$, $i=1,\text{ }2,\ldots ,\text{ }N$, $j=1,\text{}\mathrm{2}\mathrm{,}\ldots \mathrm{, }M$ і робиться висновок на основі (24) про керування для наступного кроку оптимізації.

Висновки: формалізовано задачу керування статистичним ВІК; запропоновано метод розв’язання формалізованої задачі керування.

Перелік посилань:

$1.$ Гришин И. Ю. Актуальные проблемы оптимизации управления в технических и экономических системах / Игорь Юрьевич Гришин. – Ялта: РИО КГУ, 2010. – 252 с.

$2.$ Гришин И. Ю. Проблемы управления зенитными ракетными комплексами / И. Ю. Гришин, М. К. Можар, В. М. Решетник. // Наука и оборона. – 1994. – №3. – С. 27–32.

$3.$ Ларина Р. Р. Метод динамического программирования и принцип максимума в задачах оптимизации маркетинг-логистических решений / Р. Р. Ларина, И. Ю. Гришин // Труды X Международной ФАМЭТ'2010 конференции / Р. Р. Ларина, И. Ю. Гришин. – Красноярск: Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2011.– С. 119–123.

$4.$ Тимиргалеева Р.Р. Информационно-логистическое обеспечение процесса управления сложными организационно-экономическими системами / Р. Р. Тимиргалеева, И. Ю. Гришин. –Симферополь: ИТ "Ариал", 2013. – 248 с.

$5.$ Гришин И. Ю. Метод и алгоритм локально-оптимального управления многопозиционной радиолокационной системой в режиме сопровождения объектов / Игорь Юрьевич Гришин. // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Серия: Информатика и моделирование. – 207. – № 39. – С. 29–35.

$6.$ GrishinI. Yu. Linear programming: a new polynomial-time algorithm / I. Yu. Grishin, G. G. Potapov. // Вiсник Схiдноукраїнського нацiонального унiверситету iменi Володимира Даля. – 2007. – №1. – С. 113–119.

$7.$ Гришин И. Ю. Основанный на принципе максимума метод решения задачи нелинейного бинарного программирования / Игорь Юрьевич Гришин. // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Серия: Информатика и моделирование. – 2012. – №62. – С. 46–51.

$8.$ Теленик С. Ф. Спосіб підвищення ефективності інформаційного забезпечення системи управління повітряним рухом / С. Ф. Теленик, І. Ю. Грішин. // Вісник Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут". Серія: інформатика, управління та обчислювальна техніка. – 2009. – №51. – С.32–37.

$9.$ Грішин І.Ю. Напрями підвищення ефективності керування повітряним рухом за рахуноку$досконалення інформаційного забезпечення системи / І. Ю. Грішин, Р. Р.Тіміргалєєва // Матеріали 3-Ї Міжнародної конференції з автоматичного управління та інформаційних технологій / І. Ю. Грішин, Р. Р. Тіміргалєєва. – Київ: РВВ НТУУ "КПІ", 2015. – С. 198–201.

Mar 27, 2017